Μέχρι και σήμερα ακονίζει το μυαλό δυνατών λυτών, η αναδιάταξη απλών γεωμετρικών σχημάτων σε νέους σύνθετους σχηματισμούς αποτελεί το πιο οικείο «μαθηματικό» παιχνίδι.

Η μαγεία του παιχνιδιού άγγιξε τη μαθηματική σκέψη του Αρχιμήδη.

Όπως φαίνεται σε έργο του, που το μοναδικό αντίγραφο σώθηκε μερικώς από το Παλίμψηστο, ο Αρχιμήδης προσπάθησε να εντοπίσει γεωμετρικές σχέσεις στο αρχαιότερο γνωστό παζλ.

Το «(ο)στομάχιον» ήταν πνευματικό παιχνίδι της αρχαιότητας. Το παιχνίδι απαρτίζεται από ένα τετράγωνο που έχει διαιρεθεί σε 14 γεωμετρικά σχήματα.

Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίχτης να διαμορφώσει ξανά το τετράγωνο με όσους περισσότερους τρόπους μπορεί, χρησιμοποιώντας όλα τα κομμάτια του.

Η αρχική κατασκευή της επιφάνειας έγινε με τη χρήση ξύλου. Όταν διαιρέθηκε το ξύλο στα 14 κομμάτια, οι γραμμές που δημιουργήθηκαν πάνω σε αυτό ήταν εμφανείς. Έτσι ο παίχτης μπορούσε χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία να ενώσει τις γραμμές και να σχηματίσει το τετράγωνο ξανά.

Το επίπεδο δυσκολίας ανέβηκε όταν χρησιμοποιήθηκε ελεφαντόδοντο για την κατασκευή του παιχνιδιού. Πάνω σε αυτό το υλικό οι γραμμές που χαράζονταν για να κοπεί η επιφάνεια δεν ήταν εμφανείς. Γι’ αυτό και μία πιθανή ερμηνεία για το οστομάχιον προέρχεται από τη μάχη των οστών του ελέφαντα.

Το οστομάχιον αποτελούσε πρόγονο και του τάνγκραμ καθώς μία άλλη χρήση του παιχνιδιού ήταν να διαμορφωθούν με τα 14 κομμάτια κάποιες συγκεκριμένες φιγούρες.

Τα τελικά σχήματα αποτελούσαν ζώα, όπως μία χήνα που πετάει, έναν ελέφαντα, ένα αγριογούρουνο, ένα σκυλί, που γαβγίζει.

Υπήρχαν και φιγούρες που προέρχονταν από μορφές και κατασκευές της καθημερινότητας, όπως μία κολόνα, ένας πύργος, ένας κυνηγός ή ένας πολεμιστής.

Παράλληλα το οστομάχιον αποτελούσε ένα μαθηματικό πρόβλημα του Αρχιμήδη για τους μαθητές του.

Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι ο λόγος του εμβαδού ενός τεμαχίου προς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ρητός αριθμός.

Το μαθηματικό πρόβλημα του Αρχιμήδη

Το 1906 ο Δανός καθηγητής Johan Ludvig Heiberg σε επίσκεψη του στην Κωνσταντινούπολη, εξέτασε μία περγαμηνή, γραμμένη το 13ο αιώνα μ.Χ., η οποία περιείχε 174 σελίδες λειτουργικών κειμένων. Η περγαμηνή τελικά ήταν παλίμψηστο, δηλαδή ένα έγγραφο που με κείμενο, που είχε γραφτεί πάνω από σβησμένη εργασία.

Σήμερα εικάζεται από τη μελέτη του παλίμψηστου ότι ο Αρχιμήδης πιθανόν προσπάθησε να υπολογίσει τον συνολικό αριθμό των διαφορετικών συνδυασμών που σχηματίζουν τετράγωνο.

Στο ομώνυμο πρόβλημα ο Αρχιμήδης αποδεικνύει ότι το εμβαδόν καθ’ ενός από τα 14 κομμάτια είναι ρητό υποπολλαπλάσιο του εμβαδού του αρχικού τετραγώνου και αναζητά το «πλήθος» των συνδυασμών της δημιουργίας του.

Το απαιτητικό ερώτημα συνδυαστικής απαντήθηκε το 2003 από τον Bill Culter με την χρήση υπολογιστών.

Υπάρχουν 536 διαφορετικοί συνδυασμοί για να σχηματίσει κανείς το τετράγωνο. Αν συμπεριλάβει κανείς τις συμμετρίες με περιστροφές, κατοπτρισμούς και πανομοιότυπα τρίγωνα, οι συνδυασμοί υπολογίζονται στους 17152.